यदि frac{3 pi}{4}

Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \left(2^x - \sqrt{1 + \sin 2x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$ है। चूंकि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2

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$\frac{2^x}{\log 2} + \sin x - \cos x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \left(2^x - \sqrt{1 + \sin 2x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$ है। चूंकि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$, इसलिए $\sqrt{1 + \sin 2x} = |\sin x + \cos x|$ होता है। दिया गया है कि $\frac{3 \pi}{4} अतः, $|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)$ होता है। इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \left(2^x - (-(\sin x + \cos x)) + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$ $I = \int \left(2^x + \sin x + \cos x + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx$ प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = \frac{2^x}{\log 2} - \cos x + \sin x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$ पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{2^x}{\log 2} + \sin x - \cos x - \frac{1}{x} - \log |x| + c$. अतः, विकल्प $C$ सही है।

यदि $\frac{3 \pi}{4} < x < \frac{7 \pi}{4}$ है, तो $\int \left(2^x - \sqrt{1 + \sin 2x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}\right) dx = $

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$\lambda$ का वह मान जिसके लिए $\int \frac{4x^3 + \lambda 4^x}{4^x + x^4} \, dx = \log (4^x + x^4) + c$ है,वह है:

समाकलन $\int\left(\frac{2 x^3-3 x+5}{2 x^2}\right) d x$ किसके लिए मान्य है:

$\int {\sqrt {{{\sin }^2}x} } \,\,dx = \,;\,(x \ne n\pi ,n \in I)$

निरीक्षण विधि का उपयोग करके निम्नलिखित फलन के लिए एक प्रति-अवकलज (anti-derivative) ज्ञात कीजिए:
$\cos 2x$

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