यदि int frac{e^x-1}{e^x+1} dx = f(x) + c है, | vedclass

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Question

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1} dx$ है। अंश को $(e^x + 1) - 2$ के रूप में लिखने पर,$I = \int \frac{(e^x + 1) - 2}{e^x + 1} dx =

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$2 \log (e^x + 1) - x$

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(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1} dx$ है। अंश को $(e^x + 1) - 2$ के रूप में लिखने पर,$I = \int \frac{(e^x + 1) - 2}{e^x + 1} dx = \int \left( 1 - \frac{2}{e^x + 1} \right) dx$. $\int 1 dx = x$ और $\int \frac{2}{e^x + 1} dx$ के लिए, अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर: $\int \frac{2e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx$. माना $v = 1 + e^{-x}$, तो $dv = -e^{-x} dx$. अतः, $\int \frac{2}{e^x + 1} dx = -2 \log (1 + e^{-x}) = -2 \log \left( \frac{e^x + 1}{e^x} \right) = -2 \log (e^x + 1) + 2x$. इस प्रकार, $I = x - (-2 \log (e^x + 1) + 2x) + c = 2 \log (e^x + 1) - x + c$. $f(x) + c$ से तुलना करने पर, $f(x) = 2 \log (e^x + 1) - x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx = f(x) + c$ है, तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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