यदि [cdot] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है। माना $t = x^2$, तो $dt = 2x dx$, जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$। जब $x=1$, तो

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$5-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

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(A) हमें समाकलन $I = \int_1^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है। माना $t = x^2$, तो $dt = 2x dx$, जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$। जब $x=1$, तो $t=1$। जब $x=2$, तो $t=4$। अतः, $I = \int_1^4 [t] \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_1^4 \frac{[t]}{\sqrt{t}} dt$। हम समाकलन को उन अंतरालों में विभाजित करते हैं जहाँ $[t]$ अचर है: $I = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{t}} dt + \int_2^3 \frac{2}{\sqrt{t}} dt + \int_3^4 \frac{3}{\sqrt{t}} dt \right)$। प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\int_1^2 t^{-1/2} dt = [2\sqrt{t}]_1^2 = 2(\sqrt{2}-1)$। $\int_2^3 2t^{-1/2} dt = [4\sqrt{t}]_2^3 = 4(\sqrt{3}-\sqrt{2})$। $\int_3^4 3t^{-1/2} dt = [6\sqrt{t}]_3^4 = 6(2-\sqrt{3}) = 12-6\sqrt{3}$। इन सबका योग करने पर: $I = \frac{1}{2} [2\sqrt{2}-2 + 4\sqrt{3}-4\sqrt{2} + 12-6\sqrt{3}] = \frac{1}{2} [10 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}] = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$।

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $\int_1^2 [x^2] dx =$

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