यदि I_n = int_0^a frac{x^n}{sqrt{a^2-x^2}} dx | vedclass

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Question

(B) हमें दिया गया है, $I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$। $x = a \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = a \cos 	heta d	heta$ प्राप्त ह

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$\frac{35}{48} a^4$

Vedclass · Answer

(B) हमें दिया गया है, $I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$। $x = a \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = a \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$, तब $	heta = 0$ और जब $x = a$, तब $	heta = \frac{\pi}{2}$। अतः, $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{a^n \sin^n 	heta}{a \cos 	heta} \cdot a \cos 	heta d	heta = a^n \int_0^{\pi/2} \sin^n 	heta d	heta$। वालिस के सूत्र का उपयोग करते हुए, सम $n$ के लिए $\int_0^{\pi/2} \sin^n 	heta d	heta = \frac{(n-1)(n-3)\dots(1)}{n(n-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2}$। $I_8 = a^8 \int_0^{\pi/2} \sin^8 	heta d	heta = a^8 \left( \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ight)$। $I_4 = a^4 \int_0^{\pi/2} \sin^4 	heta d	heta = a^4 \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ight)$। इसलिए, $\frac{I_8}{I_4} = \frac{a^8 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}}{a^4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}} = a^4 \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{48} a^4$।

यदि $I_n = \int_0^a \frac{x^n}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$ है, तो $\frac{I_8}{I_4} =$

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मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sec x & \cos x & \sec^2 x + \cot x \csc x \\ \cos^2 x & \cos^2 x & \csc^2 x \\ 1 & \cos^2 x & \cos^2 x \end{array} \right|$,तो $\int_0^{\pi /2} f(x) dx = $

समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$ का मान है

$\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x=$

दिया गया है कि $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. सभी $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए,यदि $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ है,तो $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

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