यदि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ का हल है और $f(0)=0$ है, तो $f(\frac{\pi}{3})=$

सभी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $y_1(x), y_2(x)$,और $y_3(x)$ ऐसे फलन हैं जो $\frac{dy_1}{dx} - (\sin x)^2 y_1 = 0, y_1(1) = 5$; $\frac{dy_2}{dx} - (\cos x)^2 y_2 = 0, y_2(1) = \frac{1}{3}$; और $\frac{dy_3}{dx} - \left(\frac{2-x^3}{x^3}\right) y_3 = 0, y_3(1) = \frac{3}{5e}$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{y_1(x) y_2(x) y_3(x) + 2x}{e^{3x} \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f :(0, \infty) \rightarrow R$ एक फलन है जो अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है और शर्त $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=4$ है। तो $2 f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$, जहाँ $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$, वक्र $y = f(x)$ के संगत अवकल समीकरण है और $f(0) = 1$ है, तो $f(x) =$

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=2(y+2 \sin x-5)x-2 \cos x$ का हल है,जहाँ $y(0)=7$ है। तो $y(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(\tan x)^{1/2} dy = (\sec^3 x - (\tan x)^{3/2} y) dx$ का हल है, जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$ है। यदि $y(\frac{\pi}{3}) = \frac{4}{5}\alpha$ है, तो $\alpha^4$ का मान . . . . . . . है।