मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण (tan x)^{1/2} dy | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(	an x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (	an x)^{3/2} y$.
$(	an x)^{1/2}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + 	an x \cdo

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$48$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(	an x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (	an x)^{3/2} y$.
$(	an x)^{1/2}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + 	an x \cdot y = \frac{\sec^3 x}{(	an x)^{1/2}}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = 	an x$ और $Q(x) = \frac{\sec^3 x}{\sqrt{	an x}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
सामान्य हल $y \cdot \sec x = \int Q(x) \cdot IF dx = \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{	an x}} \cdot \sec x dx = \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{	an x}} dx$ है।
$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ का उपयोग करने पर, हमें $\int \frac{(1 + 	an^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{	an x}} dx$ प्राप्त होता है।
माना $u = 	an x$, तो $du = \sec^2 x dx$। समाकलन $\int (u^{-1/2} + u^{3/2}) du = 2u^{1/2} + \frac{2}{5}u^{5/2} + C$ हो जाता है।
अतः, $y \sec x = 2\sqrt{	an x} + \frac{2}{5}(	an x)^{5/2} + C$.
दिया है $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$, $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $y \cdot \sqrt{2} = 2(1) + \frac{2}{5}(1) + C \implies \frac{6\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{12}{5} = \frac{12}{5} + C \implies C = 0$.
इस प्रकार, $y \sec x = 2\sqrt{	an x} + \frac{2}{5}(	an x)^{5/2}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए, $	an(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ और $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
$y \cdot 2 = 2\sqrt{\sqrt{3}} + \frac{2}{5}(\sqrt{3})^{5/2} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5}(3)^{5/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{1/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{6}{5}(3)^{1/4} = \frac{16}{5}(3)^{1/4}$.
$y(\frac{\pi}{3}) = \frac{8}{5}(3)^{1/4} = \frac{4}{5} \cdot 2(3)^{1/4}$.
अतः, $\alpha = 2(3)^{1/4}$.
$\alpha^4 = (2(3)^{1/4})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.

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