अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ का हल ज्ञात कीजिए।

यदि अवकल समीकरण $(1+\log_e x) \frac{dx}{dy} - x \log_e x = e^y, x > 0$ का हल वक्र $f(x, y)=0$ बिंदुओं $(1,0)$ और $(\alpha, 2)$ से होकर गुजरता है,तो $\alpha^\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec^2 x dx + (e^{2y} \tan^2 x + \tan x) dy = 0$ का हल है,जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ और $y(\frac{\pi}{4}) = 0$ है। यदि $y(\frac{\pi}{6}) = \alpha$ है,तो $e^{8\alpha}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $2 \cos x \frac{d y}{d x}=\sin 2 x-4 y \sin x$ का हल है,जहाँ $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। यदि $y\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ है,तो $y^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)+y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[2,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और $\frac{f(5)}{f(2)}=1$ है। यदि एक $c \in (2,5)$ ऐसा है कि $c f^{\prime}(c)=2 f(c)-2 c^3$, तो $f(x)=$

माना कि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - \frac{3x^5 \tan^{-1}(x^3)}{(1+x^6)^{3/2}} y = 2x \exp \left( \frac{x^3 - \tan^{-1}(x^3)}{\sqrt{1+x^6}} \right)$ का हल वक्र $y = y(x)$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए: