यदि अवकल समीकरण (1+log_e x) frac{dx}{dy} - x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+\ln x) \frac{dx}{dy} - x \ln x = e^y$. माना $t = x \ln x$. तब $\frac{dt}{dy} = (1 + \ln x) \frac{dx}{dy}$. इसे समीकरण मे

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$e^{2e^2}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+\ln x) \frac{dx}{dy} - x \ln x = e^y$. माना $t = x \ln x$. तब $\frac{dt}{dy} = (1 + \ln x) \frac{dx}{dy}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dy} - t = e^y$. समाकलन गुणक $IF = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ है। समीकरण को $e^{-y}$ से गुणा करने पर: $e^{-y} \frac{dt}{dy} - e^{-y} t = 1$. दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d}{dy}(t e^{-y}) dy = \int 1 dy$. $t e^{-y} = y + c$. $t = x \ln x$ रखने पर: $x \ln x e^{-y} = y + c$,या $x \ln x = (y + c) e^y$. चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $1 \ln 1 = (0 + c) e^0$,जिसका अर्थ है $c = 0$. अतः,हल $x \ln x = y e^y$ है। बिंदु $(\alpha, 2)$ के लिए,$\alpha \ln \alpha = 2 e^2$. इसे $\ln(\alpha^\alpha) = 2 e^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए,$\alpha^\alpha = e^{2e^2}$.

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