मान लीजिए f:[2,5] rightarrow R एक अवकलनीय फलन | vedclass

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Question

(A) दी गई शर्त $x f^{\prime}(x) = 2 f(x) - 2 x^3$ है, जहाँ $x \in (2, 5)$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac

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$-2 x^3+\frac{78}{7} x^2$

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(A) दी गई शर्त $x f^{\prime}(x) = 2 f(x) - 2 x^3$ है, जहाँ $x \in (2, 5)$ है।पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = -2 x^2$, जहाँ $y = f(x)$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{2}{x} d x} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$ है।दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{d x} \left( \frac{y}{x^2} \right) = -2$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x^2} = -2 x + C$, जिससे $f(x) = -2 x^3 + C x^2$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $\frac{f(5)}{f(2)} = 1$, इसलिए $f(5) = f(2)$ है।$x = 5$ और $x = 2$ रखने पर: $-2(125) + C(25) = -2(8) + C(4)$।$-250 + 25 C = -16 + 4 C$।$21 C = 234 \Rightarrow C = \frac{234}{21} = \frac{78}{7}$।अतः, $f(x) = -2 x^3 + \frac{78}{7} x^2$।

मान लीजिए $f:[2,5] \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है और $\frac{f(5)}{f(2)}=1$ है। यदि एक $c \in (2,5)$ ऐसा है कि $c f^{\prime}(c)=2 f(c)-2 c^3$, तो $f(x)=$

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यदि $\tan x$, अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है, तो $P$ हो सकता है

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$25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$, $y(0)=1, y(1)=2 e^{1 / 5}$ का हल है

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