ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (tan x)^{1/2} dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(	an x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (	an x)^{3/2} y$.
$(	an x)^{1/2}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + 	an x \cdot y = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$48$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(	an x)^{1/2} \frac{dy}{dx} = \sec^3 x - (	an x)^{3/2} y$.
$(	an x)^{1/2}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + 	an x \cdot y = \frac{\sec^3 x}{(	an x)^{1/2}}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(x) = 	an x$ અને $Q(x) = \frac{\sec^3 x}{\sqrt{	an x}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot \sec x = \int Q(x) \cdot IF dx = \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{	an x}} \cdot \sec x dx = \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{	an x}} dx$ છે.
$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\int \frac{(1 + 	an^2 x) \sec^2 x}{\sqrt{	an x}} dx$ મળે.
ધારો કે $u = 	an x$, તો $du = \sec^2 x dx$. સંકલન $\int (u^{-1/2} + u^{3/2}) du = 2u^{1/2} + \frac{2}{5}u^{5/2} + C$ બને છે.
તેથી, $y \sec x = 2\sqrt{	an x} + \frac{2}{5}(	an x)^{5/2} + C$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = \frac{6\sqrt{2}}{5}$, $x = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા: $y \cdot \sqrt{2} = 2(1) + \frac{2}{5}(1) + C \implies \frac{6\sqrt{2}}{5} \cdot \sqrt{2} = \frac{12}{5} = \frac{12}{5} + C \implies C = 0$.
આમ, $y \sec x = 2\sqrt{	an x} + \frac{2}{5}(	an x)^{5/2}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે, $	an(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ અને $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$.
$y \cdot 2 = 2\sqrt{\sqrt{3}} + \frac{2}{5}(\sqrt{3})^{5/2} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5}(3)^{5/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{1/4} = 2(3)^{1/4} + \frac{6}{5}(3)^{1/4} = \frac{16}{5}(3)^{1/4}$.
$y(\frac{\pi}{3}) = \frac{8}{5}(3)^{1/4} = \frac{4}{5} \cdot 2(3)^{1/4}$.
તેથી, $\alpha = 2(3)^{1/4}$.
$\alpha^4 = (2(3)^{1/4})^4 = 16 \cdot 3 = 48$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y \log y \left(\frac{dx}{dy}\right) + x = \log y$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ હોય,તો $x$ ના વિધેય તરીકે $y$ શું થાય?

$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}, y(0) = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module