यदि x^2 y - x^3 frac{dy}{dx} = y^4 cos x है, | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:$\frac{x^2 y}{x^3 y^4} - \frac{x^3}{x^

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$3 \cos x + c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$.दोनों पक्षों को $x^3 y^4$ से विभाजित करने पर:$\frac{x^2 y}{x^3 y^4} - \frac{x^3}{x^3 y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{y^4 \cos x}{x^3 y^4}$$\Rightarrow \frac{1}{x y^3} - \frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{x^3}$$\Rightarrow -\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y^{-3} = \frac{\cos x}{x^3}$माना $v = y^{-3}$. तब $\frac{dv}{dx} = -3 y^{-4} \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है कि $-\frac{1}{y^4} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{dv}{dx}$.इस मान को समीकरण में रखने पर:$\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = \frac{\cos x}{x^3}$$3$ से गुणा करने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{3}{x} v = \frac{3 \cos x}{x^3}$.यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{3}{x}$ और $Q(x) = \frac{3 \cos x}{x^3}$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{x} dx} = e^{3 \ln x} = x^3$.हल $v \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + c$ है।$v \cdot x^3 = \int \frac{3 \cos x}{x^3} \cdot x^3 dx + c$$v x^3 = 3 \int \cos x dx + c$$v x^3 = 3 \sin x + c$.चूंकि $v = y^{-3}$, इसलिए $x^3 y^{-3} = 3 \sin x + c$.

यदि $x^2 y - x^3 \frac{dy}{dx} = y^4 \cos x$ है, तो $x^3 y^{-3}$ का मान क्या होगा?

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