यदि $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ दो सदिश हैं, तो $\vec{a}$ के समांतर $\vec{b}$ के घटक का परिमाण ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)

मान लीजिए $\vec a = \hat i - \hat j,$ $\vec b = \hat i + \hat j + \hat k$ और $\vec c$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec a \times \vec c + \vec b = 0$ और $\vec a \cdot \vec c = 4$,तो ${\left| {\vec c} \right|^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो आसन्न भुजाएँ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ द्वारा दी गई हैं। भुजा $AD$ को समांतर चतुर्भुज के तल में एक न्यून कोण $\alpha$ द्वारा घुमाया जाता है ताकि $AD$,$AD'$ बन जाए। यदि $AD'$,भुजा $AB$ के साथ समकोण बनाता है,तो कोण $\alpha$ का कोसाइन (cosine) क्या होगा?

यदि सदिशों $a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ है और $a \cdot b = \cos \theta$ है,तो सत्य कथन है:

चतुर्भुज $ABCD$ में,$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$,$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$,$\overrightarrow{DA}=\vec{a}-\vec{b}$ है। $M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $X$,$DM$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\overrightarrow{DX}=\frac{4}{5} \overrightarrow{DM}$ है। तब बिंदु $A, X$ और $C$:

$A(\vec{a}), B(\vec{b}), C(\vec{c}), D(\vec{d})$ चार एकवृत्तीय (concyclic) बिंदु हैं, इस प्रकार कि $x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}+t \vec{d}=\vec{0}$ और $x+y+z+t=0$, जहाँ $x, y, z, t$ अचर हैं जो सभी शून्य नहीं हैं। यदि जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो: