यदि alpha, beta द्विघात समीकरण x^{2}+p x+q=0 | vedclass

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Question

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+p x+q=0$ के लिए, मूलों का योग $\alpha+\beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है। सबसे पहले, $\alpha^{3}+\beta^{3}

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$3 p q-p^{3}$ और $(p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$

Vedclass · Answer

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+p x+q=0$ के लिए, मूलों का योग $\alpha+\beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है। सबसे पहले, $\alpha^{3}+\beta^{3}$ की गणना करें: $\alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) = (-p)^{3}-3 q(-p) = -p^{3}+3 p q = 3 p q-p^{3}$. इसके बाद, $\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$ की गणना करें: $\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4} = (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2} - \alpha^{2} \beta^{2} = [(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta]^{2} - (\alpha \beta)^{2} = [(-p)^{2}-2 q]^{2} - q^{2} = (p^{2}-2 q)^{2} - q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+4 q^{2}-q^{2} = p^{4}-4 p^{2} q+3 q^{2} = p^{2}(p^{2}-3 q)-q(p^{2}-3 q) = (p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$. अतः, मान $3 p q-p^{3}$ और $(p^{2}-q)(p^{2}-3 q)$ हैं।

यदि $\alpha, \beta$ द्विघात समीकरण $x^{2}+p x+q=0$ के मूल हैं, तो $\alpha^{3}+\beta^{3}$ और $\alpha^{4}+\alpha^{2} \beta^{2}+\beta^{4}$ के मान क्रमशः क्या हैं?

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