यदि omega neq 1 इकाई का घनमूल है, तो श्रेणी S | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ है।$\omega$ से गुणा करने पर: $S\omega = \omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \dot

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$\frac{3n}{\omega-1}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ है।$\omega$ से गुणा करने पर: $S\omega = \omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \dots + 3n\omega^{3n}$ प्राप्त होता है।दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1 - \omega) = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{3n-1} - 3n\omega^{3n}$।चूंकि $\omega^3 = 1$, गुणोत्तर श्रेणी $1 + \omega + \dots + \omega^{3n-1}$ का योग $\frac{1 - (\omega^3)^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ है।अतः, $S(1 - \omega) = 0 - 3n(1) = -3n$।इसलिए, $S = \frac{-3n}{1 - \omega} = \frac{3n}{\omega - 1}$।

यदि $\omega \neq 1$ इकाई का घनमूल है, तो श्रेणी $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ का योग क्या है?

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