यदि y = frac{x}{log_e|cx|} अवकल समीकरण frac{d | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $y = \frac{x}{\ln|cx|}$.भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln|cx| \cdot 1 -

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$-\frac{y^2}{x^2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $y = \frac{x}{\ln|cx|}$.भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln|cx| \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{cx} \cdot c}{(\ln|cx|)^2} = \frac{\ln|cx| - 1}{(\ln|cx|)^2} = \frac{1}{\ln|cx|} - \frac{1}{(\ln|cx|)^2}$.चूंकि $y = \frac{x}{\ln|cx|}$, इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|cx|}$.इस मान को अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2$.दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\phi\left(\frac{x}{y}\right) = -\left(\frac{y}{x}\right)^2 = -\frac{y^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।

यदि $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ का हल है, तो $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ का मान क्या है?

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सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।

वह वक्र जो अवकल समीकरण $(1 + y^2) dx - xy\, dy = 0$ को संतुष्ट करता है और बिंदु $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,उसकी नाभियाँ (foci) क्या हैं?

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