सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।
(N/A) दिया गया फलन: $y = x \sin x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$y^{\prime} = \sin x + x \cos x$
अब,अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ पर विचार करें:
$L.H.S. = x y^{\prime} = x(\sin x + x \cos x) = x \sin x + x^2 \cos x$
दाएँ पक्ष $(R.H.S.)$ में $y = x \sin x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R.H.S. = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2 - (x \sin x)^2}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2(1 - \sin^2 x)}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2 \cos^2 x}$
$= x \sin x + x(x \cos x)$
$= x \sin x + x^2 \cos x$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$
$y^{\prime} = \sin x + x \cos x$
अब,अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष $(L.H.S.)$ पर विचार करें:
$L.H.S. = x y^{\prime} = x(\sin x + x \cos x) = x \sin x + x^2 \cos x$
दाएँ पक्ष $(R.H.S.)$ में $y = x \sin x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$R.H.S. = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2 - (x \sin x)^2}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2(1 - \sin^2 x)}$
$= x \sin x + x \sqrt{x^2 \cos^2 x}$
$= x \sin x + x(x \cos x)$
$= x \sin x + x^2 \cos x$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः दिया गया फलन अवकल समीकरण का हल है।
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