જો $A$ અને $B$ બે એવી ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cup B) \geq \frac{3}{4}$ અને $\frac{1}{8} \leq P(A \cap B) \leq \frac{3}{8}$ હોય, તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

એક પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે છે. તેમનો સરવાળો $4n+1$ સ્વરૂપની અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?

ચેસ-બોર્ડ પર બે ચોરસ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચે એક બાજુ સામાન્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

બોક્સ $1$ માં $1, 2, 3$ નંબરના ત્રણ કાર્ડ છે; બોક્સ $2$ માં $1, 2, 3, 4, 5$ નંબરના પાંચ કાર્ડ છે; અને બોક્સ $3$ માં $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ નંબરના સાત કાર્ડ છે. દરેક બોક્સમાંથી એક કાર્ડ ખેંચવામાં આવે છે. ધારો કે $x_i$ એ $i$-માં બોક્સમાંથી ખેંચાયેલ કાર્ડ પરની સંખ્યા છે,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ એકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના છે:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તેની સંભાવના છે:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

ધારો કે $X$ અને $Y$ ઘટનાઓ એવી છે કે જેથી $P(X \cup Y) = P(X \cap Y).$
વિધાન-$1$: $P(X \cap Y) = P(X' \cap Y') = 0$
વિધાન-$2$: $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y).$

એક સમતોલ પાસાને ત્યાં સુધી ફેંકવામાં આવે છે જ્યાં સુધી $2$ ન મળે. તો $2$ બેકી સંખ્યાના પ્રયત્નોમાં મળે તેની સંભાવના કેટલી છે?