यदि y=y(x) अवकल समीकरण 16(sqrt{x+9sqrt{x}})(4 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos y}{1+

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$2 \sqrt{2}-1$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$. चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$. माना $u = 1+2 \sin y$, तब $du = 2 \cos y \, dy$, अतः $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$. दाहिनी ओर के लिए, माना $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$। तब $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$, अतः $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$। $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ का अवकलन करने पर, $dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$। अतः, $\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$। समाकलन इस प्रकार होगा: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$। $y(256) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$। अतः $C = 0$। अब, $y(49) = \alpha$ के लिए: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$। अतः $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$। इसलिए, $1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$, जो हमें $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ देता है।

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