જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ 16(sqrt{x+9sqrt{x}})( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y}

Vedclass · Accepted Answer

$2 \sqrt{2}-1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$. ધારો કે $u = 1+2 \sin y$, તો $du = 2 \cos y \, dy$, તેથી $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$. જમણી બાજુ માટે, ધારો કે $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$. તેથી $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$, તેથી $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$. $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ નું વિકલન કરતા, $dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$. તેથી, $\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$. સંકલન આ મુજબ થશે: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$. $y(256) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$. તેથી $C = 0$. હવે, $y(49) = \alpha$ માટે: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$. તેથી $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$. આમ, $1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$, જે આપણને $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ આપે છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\tan x \tan y \, dx + \cos^2 x \operatorname{cosec}^2 y \, dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $dy - \sin x \sin y \, dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x-(x+y) \log (x+y)) dx + x dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(e^{x}+e^{-x}) dy - (e^{x}-e^{-x}) dx = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module