જો વિકલ સમીકરણ (1+y^2)(1+log_e x) dx + x dy = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ મળે છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ છે.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ મળે છે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.આનું સાદું રૂપ $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + 	an^{-1} y = C$ થાય છે.વક્ર $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા: $\ln(1) + \frac{(\ln 1)^2}{2} + 	an^{-1}(1) = C$,જે $0 + 0 + \frac{\pi}{4} = C$ આપે છે,તેથી $C = \frac{\pi}{4}$.વક્રનું સમીકરણ $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{4}$ છે.$x=e$ માટે,$\ln(e) + \frac{(\ln e)^2}{2} + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે $1 + \frac{1}{2} + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{4}$.આમ,$	an^{-1} y = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$,તેથી $y = 	an(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) = \frac{	an(\pi/4) - 	an(3/2)}{1 + 	an(\pi/4)	an(3/2)} = \frac{1 - 	an(3/2)}{1 + 	an(3/2)}$.આને $y(e) = \frac{\alpha - 	an(3/2)}{\beta + 	an(3/2)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.તેથી,$\alpha + 2\beta = 1 + 2(1) = 3$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1+y^2)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y = f(x)$ એ એક એકદિષ્ટ વધતું વિધેય હોય કે જેથી $(\frac{dy}{dx})^2 = 6 - \frac{dy}{dx}$ અને $y(0) = 5$ થાય, તો $y(3) = \dots$

વિકલ સમીકરણ $2 x \left(\frac{d y}{d x}\right) - y = 4$ નો ઉકેલ એ કોનું કુટુંબ દર્શાવે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module