यदि $x, y, z$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं, जहाँ $z$ कर्ण (सबसे बड़ी भुजा) है, तो $\frac{1}{\log_{x+z} y} + \frac{1}{\log_{z-x} y}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $m$,$\log _3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3})$ का न्यूनतम संभव मान है,जहाँ $y_1, y_2, y_3$ वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए $y_1+y_2+y_3=9$ है। मान लीजिए कि $M$,$(\log _3 x_1+\log _3 x_2+\log _3 x_3)$ का अधिकतम संभव मान है,जहाँ $x_1, x_2, x_3$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जिनके लिए $x_1+x_2+x_3=9$ है। तो $\log _2(m^3)+\log _3(M^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n$ एक ऐसा धनात्मक पूर्णांक है कि $\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 < \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n)$ है। मान लीजिए $l$,$n$ के बाइनरी विस्तार में अंकों की संख्या है। तो $l$ के न्यूनतम और अधिकतम संभावित मान क्या हैं?

$\sinh[\log(2+\sqrt{5})] + \cosh[\log(2+\sqrt{3})] = ?$

मान लीजिए $S$ आधार $10$ में संख्या $15^2 \times 5^{18}$ के अंकों का योग है। तो,

मान लीजिए $k>0$ और $t=\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)-\operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{3}{k}\right)$ है। यदि $3 e^t=2+\sqrt{3}$ है,तो $k=$