જો $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$ હોય,તો $\sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = $

જો $x$ અને $y$ સમીકરણો દ્વારા પ્રાચલીય રીતે જોડાયેલા હોય,તો પ્રાચલને દૂર કર્યા વગર $\frac{dy}{dx}$ શોધો: $x = \sin t, y = \cos 2t$.

List-$I$ માં આપેલ પ્રચલિત સ્વરૂપમાં વક્રોની સિસ્ટમ માટે $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર $\frac{dy}{dx}$ ના મૂલ્યોને List-$II$ માં આપેલ વસ્તુઓ સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$	$(A)$ $4\sqrt{3}$
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$	$(B)$ $-\frac{1}{3\sqrt{3}}$
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$	$(C)$ $\sqrt{3}$
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$	$(D)$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$
	$(E)$ $\frac{1}{3\sqrt{3}}$

જો $x=a(\cos t+t \sin t)$ અને $y=a(\sin t-t \cos t)$ હોય,તો $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}=$

$a > 0, t \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માટે,ધારો કે $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ અને $y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}}$. તો,$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $u = \frac{\tan^{-1} x}{\tan^{-1} x + 1}$ અને $v = \tan^{-1}(\tan^{-1} x)$ હોય,તો $\frac{du}{dv} = \dots$