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Question

(A) दिया गया है $u = \log_e(x^2 + y^2) + 	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)$.सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:$\frac{\partial u}{\partia

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(A) दिया गया है $u = \log_e(x^2 + y^2) + 	an^{-1}\left(\frac{y}{x}ight)$.सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}ight) = \frac{2x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{2x - y}{x^2 + y^2}$.अब,$x$ के सापेक्ष द्वितीय आंशिक अवकलन ज्ञात करें:$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2)(2) - (2x - y)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2 + 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2xy}{(x^2 + y^2)^2}$.इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}ight) = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{2y + x}{x^2 + y^2}$.अब,$y$ के सापेक्ष द्वितीय आंशिक अवकलन ज्ञात करें:$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(2) - (2y + x)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2}$.दोनों द्वितीय आंशिक अवकलनों को जोड़ने पर:$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2xy + 2x^2 - 2y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{0}{(x^2 + y^2)^2} = 0$.

यदि $u = \log_e(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ है,तो $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = $

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