यदि int_0^{t^2} xf(x)dx = frac{2}{5}t^5, t | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $\int_0^{t^2} xf(x)dx = \frac{2}{5}t^5$ है। $t$ के सापेक्ष अवकलन के लिए लेबनिज नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dt} \left( \int_0^

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$\frac{2}{5}$

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(A) दिया गया समीकरण $\int_0^{t^2} xf(x)dx = \frac{2}{5}t^5$ है। $t$ के सापेक्ष अवकलन के लिए लेबनिज नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dt} \left( \int_0^{t^2} xf(x)dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{2}{5}t^5 \right)$. श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(t^2)f(t^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = \frac{2}{5} \cdot 5t^4$. $(t^2)f(t^2) \cdot (2t) = 2t^4$. $2t^3 f(t^2) = 2t^4$. चूंकि $t > 0$,हम $2t^3$ से विभाजित कर सकते हैं: $f(t^2) = t$. हमें $f\left( \frac{4}{25} \right)$ ज्ञात करना है। मान लीजिए $t^2 = \frac{4}{25}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{2}{5}$ (क्योंकि $t > 0$)। $f(t^2) = t$ में $t = \frac{2}{5}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $f\left( \frac{4}{25} \right) = \frac{2}{5}$.

यदि $\int_0^{t^2} xf(x)dx = \frac{2}{5}t^5, t > 0,$ है,तो $f\left( \frac{4}{25} \right) = $

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