यदि int_a^b {x^3} dx = 0 और int_a^b {x^2} dx | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\int_a^b {x^3} dx = 0$.समाकलन करने पर: $\left[ \frac{x^4}{4} \right]_a^b = 0 \implies b^4 - a^4 = 0 \implies (b^2 - a^2)(b^2 + a^2

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$-1, 1$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\int_a^b {x^3} dx = 0$.समाकलन करने पर: $\left[ \frac{x^4}{4} \right]_a^b = 0 \implies b^4 - a^4 = 0 \implies (b^2 - a^2)(b^2 + a^2) = 0$.चूंकि $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं,$b^2 + a^2 = 0$ का अर्थ $a=0, b=0$ है,जो दूसरे समाकलन के साथ विरोधाभासी है। अतः,$b^2 - a^2 = 0$,जिसका अर्थ है $b = a$ या $b = -a$.यदि $b = a$ है,तो $\int_a^b {x^2} dx = 0$ होगा,लेकिन हमें $\int_a^b {x^2} dx = \frac{2}{3}$ दिया गया है। अतः,$b = -a$.दिया गया है कि $\int_a^b {x^2} dx = \frac{2}{3}$,इसलिए $\left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{2}{3} \implies b^3 - a^3 = 2$.$b = -a$ रखने पर: $(-a)^3 - a^3 = 2 \implies -2a^3 = 2 \implies a^3 = -1 \implies a = -1$.चूंकि $b = -a$,इसलिए $b = -(-1) = 1$.अतः,$(a, b) = (-1, 1)$.

यदि $\int_a^b {x^3} dx = 0$ और $\int_a^b {x^2} dx = \frac{2}{3}$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

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