यदि A = sin^2 x + cos^4 x है,तो सभी वास्तविक | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.माना $t = \sin^2 x$,तो $0 \le t \le 1$. चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,इसलिए $\cos^4 x = (1 - t)^2$

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$\frac{3}{4} \le A \le 1$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.माना $t = \sin^2 x$,तो $0 \le t \le 1$. चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,इसलिए $\cos^4 x = (1 - t)^2$.इन मानों को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.यह $t$ में एक द्विघात व्यंजक है जहाँ $t \in [0, 1]$.परवलय $f(t) = t^2 - t + 1$ का शीर्ष $t = 1/2$ पर है।चूँकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर है,न्यूनतम मान $f(1/2) = 3/4$ है।अधिकतम मान सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:$f(0) = 1$ और $f(1) = 1$.अतः,$A$ का परिसर $\frac{3}{4} \le A \le 1$ है।

यदि $A = \sin^2 x + \cos^4 x$ है,तो सभी वास्तविक $x$ के लिए :

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