यदि x, y, z A.P. में हैं और tan^{-1} x, tan^{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$  ....$(1)$चूंकि $	an^{-1} x, 	an^{-1} y, 	an^{-1} z$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 	an^{-

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$x = y = z$

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(A) दिया गया है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$  ....$(1)$चूंकि $	an^{-1} x, 	an^{-1} y, 	an^{-1} z$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 	an^{-1} y = 	an^{-1} x + 	an^{-1} z$ होगा।$	an^{-1} a + 	an^{-1} b = 	an^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} ight)$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $2 	an^{-1} y = 	an^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} ight)$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों में $	an$ लेने पर,$\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$।$(1)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि या तो $2y = 0$ (जो $x=y=z=0$ की ओर ले जाता है) या $\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{1-xz}$,जिसका अर्थ है $y^2 = xz$।यदि $x, y, z$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,तो $x = y = z$।

यदि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ भी एक अन्य $A.P.$ में हैं,तो:

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यदि $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ और $g(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$ है,तो $0 < a < \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)=$

$\sin ^{-1}(\sin 100) + \cos ^{-1}(\cos 100) + \tan ^{-1}(\tan 100) + \cot ^{-1}(\cot 100)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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