$\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)=$

यदि $\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$ और $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि $m < n$,तो $(m^n + n^m)^{m+n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$ है, तो $x \in$

मान लीजिए $f : R \to R$,$f(x) = \max\{|\tan^{-1}x|, \cot^{-1}x\}$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ फलन सतत और अवकलनीय है $\forall x \in R$ के लिए।
$II.$ फलन का परिसर $\left[ \frac{\pi}{4}, \pi \right]$ है।
$III.$ $f(x)$ एक बहु-एक अंतर्क्षेपी (many-one into) फलन है।
सही विकल्प की पहचान करें।

व्यंजक $\lfloor \tan^{-1} x - \tan^{-1} y \rfloor - \lfloor \sin^{-1} u - \sin^{-1} v \rfloor$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $\lfloor . \rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $x, y, u, v$ स्वतंत्र वास्तविक चर हैं।

यदि $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)$ है,तो $x = \sqrt{3}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।