मान लीजिए f : R to R,f(x) = max{|tan^{-1}x|, | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $g(x) = |	an^{-1}x|$ और $h(x) = \cot^{-1}x$ है।हमें $f(x) = \max\{g(x), h(x)\}$ ज्ञात करना है।$x < 0$ के लिए,$g(x) = |	an^{-1}x| = -

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उपरोक्त कथनों में से केवल एक कथन सही है।

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $g(x) = |	an^{-1}x|$ और $h(x) = \cot^{-1}x$ है।हमें $f(x) = \max\{g(x), h(x)\}$ ज्ञात करना है।$x  -	an^{-1}x$,इसलिए $x $x \ge 0$ के लिए,$g(x) = 	an^{-1}x$ और $h(x) = \cot^{-1}x$ है। वे वहां प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $	an^{-1}x = \cot^{-1}x$,अर्थात $x = 1$ पर। $x=1$ पर,$f(1) = \frac{\pi}{4}$ है।$x \in [0, 1]$ के लिए,$\cot^{-1}x \ge 	an^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \cot^{-1}x$ है। $x > 1$ के लिए,$	an^{-1}x > \cot^{-1}x$,इसलिए $f(x) = 	an^{-1}x$ है।कथन $I$: फलन हर जगह सतत है लेकिन $x=1$ (जहाँ फलन बदलते हैं) और संभवतः $x=0$ (जहाँ $|	an^{-1}x|$ का कोना है) पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$I$ गलत है।कथन $II$: परिसर $[\frac{\pi}{4}, \pi)$ है। जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) 	o \pi$। जैसे $x 	o \infty$,$f(x) 	o \frac{\pi}{2}$। न्यूनतम मान $x=1$ पर $\frac{\pi}{4}$ है। अतः,$II$ गलत है।कथन $III$: चूंकि फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है और पूरे सह-प्रांत $R$ को कवर नहीं करता है,इसलिए यह बहु-एक अंतर्क्षेपी (many-one into) है। अतः,$III$ सही है।केवल एक कथन सही है।

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