જો $\alpha , \beta \neq 0$ અને $f(n) = \alpha^n + \beta^n$ અને $\begin{vmatrix} 3 & 1 + f(1) & 1 + f(2) \\ 1 + f(1) & 1 + f(2) & 1 + f(3) \\ 1 + f(2) & 1 + f(3) & 1 + f(4) \end{vmatrix} = K(1 - \alpha)^2 (1 - \beta)^2 (\alpha - \beta)^2$ હોય,તો $K = \dots$

ધારો કે $M$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ સંમિત શ્રેણિક છે. તો $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોય જો

માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2 \times 2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલ નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક ચોરસ શ્રેણિક $P$ એ $P^2 = I - P$ નું પાલન કરે છે. જો $P^n = 5I - 8P$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\Omega$ એ તમામ $3 \times 3$ સંમિત શ્રેણિકોનો ગણ છે જેના તમામ ઘટકો $0$ અથવા $1$ છે. આમાંથી પાંચ ઘટકો $1$ છે અને ચાર ઘટકો $0$ છે.
$1.$ $\Omega$ માં શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી છે?
$(A) 12$ $(B) 6$ $(C) 9$ $(D) 3$
$2.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ નો ઉકેલ અનન્ય છે?
$(A) 4$ થી ઓછી $(B) 4$ કે તેથી વધુ પણ $7$ થી ઓછી $(C) 7$ કે તેથી વધુ પણ $10$ થી ઓછી $(D) 10$ કે તેથી વધુ
$3.$ $\Omega$ માં એવા શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ સુસંગત નથી?
$(A) 0$ $(B) 2$ થી વધુ $(C) 2$ $(D) 1$

કોઈપણ $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$|M|$ એ $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે. ધારો કે $E$ અને $F$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $(I-EF)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે. જો $G=(I-EF)^{-1}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) |FE|=|I-FE||FGE|$
$(B) |I-FE|(I+FGE)=I$
$(C) EFG=GEF$
$(D) (I-FE)(I-FGE)=I$