यदि f:R to R एक अवकलनीय फलन है और f(1) = 4 है | vedclass

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Question

(A) माना $L = \lim_{x 	o 1} \int_4^{f(x)} \frac{2t}{x - 1} dt$ है।समाकल को $\frac{1}{x-1} \int_4^{f(x)} 2t dt$ के रूप में लिखा जा सकता है।$2t$ का समा

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$8f'(1)$

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(A) माना $L = \lim_{x 	o 1} \int_4^{f(x)} \frac{2t}{x - 1} dt$ है।समाकल को $\frac{1}{x-1} \int_4^{f(x)} 2t dt$ के रूप में लिखा जा सकता है।$2t$ का समाकलन $t^2$ है,इसलिए $\int_4^{f(x)} 2t dt = [t^2]_4^{f(x)} = (f(x))^2 - 16$ होगा।अतः,$L = \lim_{x 	o 1} \frac{(f(x))^2 - 16}{x - 1}$ है।$(f(x))^2 - 16 = (f(x) - 4)(f(x) + 4)$ का उपयोग करने पर।चूंकि $f(1) = 4$ है,इसलिए जैसे $x 	o 1$,$f(x) 	o 4$,तो $f(x) + 4 	o 8$ होगा।अतः,$L = \lim_{x 	o 1} \frac{(f(x) - 4)(f(x) + 4)}{x - 1} = \left( \lim_{x 	o 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} ight) 	imes \left( \lim_{x 	o 1} (f(x) + 4) ight)$ है।यह $f'(1) 	imes (4 + 4) = 8f'(1)$ के बराबर है।

यदि $f:R \to R$ एक अवकलनीय फलन है और $f(1) = 4$ है,तो $\lim_{x \to 1} \int_4^{f(x)} \frac{2t}{x - 1} dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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