यदि l^r(x),x का r-वां पुनरावृत्त लघुगणक (iter | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{1}{x \cdot l^1(x) \cdot l^2(x) \cdot ... \cdot l^r(x)} \, dx$. प्रतिस्थापन $t = l^{r+1}(x)$ लें। श्रृंखला नियम (chain rule) क

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$l^{r+1}(x) + c$

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(A) माना $I = \int \frac{1}{x \cdot l^1(x) \cdot l^2(x) \cdot ... \cdot l^r(x)} \, dx$. प्रतिस्थापन $t = l^{r+1}(x)$ लें। श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$l^{r+1}(x) = \log(l^r(x))$ का अवकलन $\frac{d}{dx} l^{r+1}(x) = \frac{1}{l^r(x)} \cdot \frac{d}{dx} l^r(x)$ होता है। इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{d}{dx} l^{r+1}(x) = \frac{1}{l^r(x) \cdot l^{r-1}(x) \cdot ... \cdot l^1(x) \cdot x}$। अतः,$dt = \frac{1}{x \cdot l^1(x) \cdot ... \cdot l^r(x)} \, dx$। इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $\int 1 \, dt = t + c$ प्राप्त होता है। अतः,समाकलन का मान $l^{r+1}(x) + c$ है।

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$\int \frac{x - 2}{x(2\log x - x)} dx = $

$\int {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} [\log ({x^2} + 1) - 2\log x]}}{{{x^4}}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{\log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)}{\sqrt{1+t^2}} dt=\frac{1}{2}(g(t))^2+c$ जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $g(2)$ का मान क्या है?

$\int \frac{\sqrt{x}}{x+1} \,dx=$

$\int (x + 3)({x^2} + 6x + 10)^9 \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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