यदि f(x) = cos(tan^{-1}x) है,तो समाकलन int_{0 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \cos(	an^{-1}x)$.समाकलन $I = \int_{0}^{1} x f''(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$I = [x f'

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$1 - \frac{3}{2\sqrt{2}}$

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(D) दिया गया है $f(x) = \cos(	an^{-1}x)$.समाकलन $I = \int_{0}^{1} x f''(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$I = [x f'(x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f'(x) dx$$I = f'(1) - [f(1) - f(0)] = f'(1) - f(1) + f(0)$.अब,$f(x) = \cos(	an^{-1}x)$. $x=1$ पर,$	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,अतः $f(1) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.$x=0$ पर,$	an^{-1}(0) = 0$,अतः $f(0) = \cos(0) = 1$.अवकलन $f'(x) = -\sin(	an^{-1}x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.$f'(1) = -\sin(\frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{1+1^2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.इन मानों को रखने पर:$I = -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 1 - \frac{1+2}{2\sqrt{2}} = 1 - \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

यदि $f(x) = \cos(\tan^{-1}x)$ है,तो समाकलन $\int_{0}^{1} x f''(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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