यदि f(x) = int_0^{pi/2} frac{ln(1 + x sin^2 t | vedclass

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Question

(D) माना $I(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} d	heta$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करन

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ और $(B)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) माना $I(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} d	heta$. समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} ight) d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + x \sin^2 	heta} d	heta$. अंश और हर को $\sec^2 	heta$ से गुणा करने पर: $f'(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{\sec^2 	heta + x 	an^2 	heta} d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{1 + (1+x) 	an^2 	heta} d	heta$. माना $u = \sqrt{1+x} 	an 	heta$,तब $du = \sqrt{1+x} \sec^2 	heta d	heta$. $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} \int_0^{\infty} \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}} [	an^{-1} u]_0^{\infty} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+x}}$. $f'(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $f(x) = \int \frac{\pi}{2\sqrt{1+x}} dx = \pi \sqrt{1+x} + C$. चूंकि $f(0) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1)}{\sin^2 	heta} d	heta = 0$,इसलिए $\pi \sqrt{1} + C = 0 \implies C = -\pi$. अतः,$f(x) = \pi(\sqrt{x+1} - 1)$. $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

यदि $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ है,तो:

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$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos \left(t^{2}\right) d t}{x \sin x}$ का मान है

वह $x$ का मान जो समाकल $\int\limits_x^{x + 3} {t(5 - t)\,dt}$ के मान को अधिकतम करता है,है

यदि $f(x) = \int_{9x^2}^{x^4} 5^{\sqrt{t}} dt$ है,तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3 - h)}{h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi x \cdot \sin^5 x \cdot \cos^6 x \, dx =$

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