જો $(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) \dots (1 + x + x^2 + \dots + x^n) \equiv a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_mx^m$ હોય,તો $\sum_{r=0}^m a_r$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $\lambda$ એ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ નું ધન બીજ છે,અને $n \in N$ માટે $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda^n - (1-\lambda)^n\right)$ લો,જ્યાં $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. ગણ $A = \{ n \in N : a_n \text{ એ સંમેય સંખ્યા છે, પરંતુ પૂર્ણાંક નથી} \}$ અને $B = \{ n \in N : a_n \text{ એ અસંમેય સંખ્યા છે} \}$ ધ્યાનમાં લો. તો:

અઋણ પૂર્ણાંકો $s$ અને $r$ માટે,ધારો કે $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{જો } r \leq s \\ 0 & \text{જો } r > s \end{cases}$. ધન પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ માટે,ધારો કે $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,જ્યાં કોઈપણ અઋણ પૂર્ણાંક $p$ માટે,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $m, n$ માટે

ધારો કે $(1+x+x^2)^{2014} = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_{4028} x^{4028}$. ધારો કે $A = a_0 - a_3 + a_6 - \ldots + a_{4026}$,$B = a_1 - a_4 + a_7 - \ldots - a_{4027}$,અને $C = a_2 - a_5 + a_8 - \ldots + a_{4028}$. તો,

ધારો કે $2-p, p, 2-\alpha, \alpha$ એ $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં ચાર ક્રમિક પદોના સહગુણકો છે. તો $p^2-\alpha^2+6\alpha+2p$ ની કિંમત શોધો.

જો $C_r$ એ દ્વિપદી સહગુણક ${ }^{n} C_r$ દર્શાવતું હોય,તો $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ ની કિંમત શોધો.