જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ અસમતલીય સદિશો હોય અને $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = 0$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$, $-12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$, $-\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ એ ચાર સમતલીય બિંદુઓના સ્થાન સદિશો હોય, તો $\lambda=$

$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતર ષટ્ફલક (parallelepiped) સદિશો $\vec{a} = -2\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$, અને $\vec{c} = -3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ દ્વારા નિર્ધારિત છે. સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ પાયા પર સમાંતર ષટ્ફલકની ઊંચાઈ છે

જો ચાર બિંદુઓ $2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$,$\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$3\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{c}$ અને $\vec{a} - \lambda\vec{b} - 6\vec{c}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો એક ચતુષ્ફલક (tetrahedron) નું ઘનફળ, જેની સહ-આદિમ ધાર (coterminous edges) સદિશો $\vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$, $\vec{b} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda - 10)\hat{k}$, અને $\vec{c} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે, તે $11$ ઘન એકમ હોય, તો $\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો છે