यदि f(x) = x^4 + lambda x^3 + x^2 (lambda in | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$.सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3 + 3\lambda x^2 + 2x$.चूंकि $f(x)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स

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(B) दिया गया है $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$.सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3 + 3\lambda x^2 + 2x$.चूंकि $f(x)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है,इसलिए $f'(\frac{1}{2}) = 0$.$f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{8}) + 3\lambda(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3\lambda}{4} + 1 = 0$.$\frac{3\lambda}{4} = -\frac{3}{2} \Rightarrow \lambda = -2$.अब,$f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x = 2x(2x^2 - 3x + 1) = 2x(2x - 1)(x - 1)$.क्रांतिक बिंदु $x = 0, \frac{1}{2}, 1$ हैं।प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:$x $0  0$ ($x=0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ)।$\frac{1}{2} $x > 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ ($x=1$ पर स्थानीय निम्निष्ठ)।क्रांतिक बिंदुओं पर मानों की गणना:$f(0) = 0^4 - 2(0)^3 + 0^2 = 0$.$f(1) = 1^4 - 2(1)^3 + 1^2 = 1 - 2 + 1 = 0$.अतः,$f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ मान $0$ है।

यदि $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$ $(\lambda \in R)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) है,तो $f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ (absolute minimum) मान है:

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