यदि f(x) = intlimits_0^x {2(cos^2 3t + 3sin^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt$.हम जानते हैं कि $f(x+\pi) = \int_{0}^{x+\pi} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt$.निश्चित

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$f(x) + f(\pi)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt$.हम जानते हैं कि $f(x+\pi) = \int_{0}^{x+\pi} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt$.निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f(x+\pi) = \int_{0}^{x} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt + \int_{x}^{x+\pi} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt$.यह सरल होकर $f(x+\pi) = f(x) + \int_{x}^{x+\pi} (2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t) dt$ हो जाता है।समाकल्य $g(t) = 2\cos^2 3t + 3\sin^2 3t$ का आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{3}$ है।चूंकि समाकलन अंतराल $[x, x+\pi]$ की लंबाई $\pi$ है,जो $T = \frac{\pi}{3}$ का एक गुणज है (अर्थात $\pi = 3 	imes \frac{\pi}{3}$),इसलिए $\pi$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन का मान $[0, \pi]$ पर समाकलन के मान के बराबर होगा।अतः,$\int_{x}^{x+\pi} g(t) dt = \int_{0}^{\pi} g(t) dt = f(\pi)$.इसलिए,$f(x+\pi) = f(x) + f(\pi)$.

यदि $f(x) = \int\limits_0^x {2(\cos^2 3t + 3\sin^2 3t)dt}$ है,तो $f(x + \pi)$ का मान क्या होगा?

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समाकल $\frac{48}{\pi^{4}} \int_{0}^{\pi} \left(\frac{3 \pi x^{2}}{2} - x^{3}\right) \frac{\sin x}{1 + \cos^{2} x} dx$ का मान किसके बराबर है?

यदि $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1}{2}\right)$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log \sec x \, dx = $

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos x} = \dots$

$\int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx =$

$\int_{\frac{-3\pi}{2}}^{\frac{-\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx = $

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