यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = A$ और $BA = B$,और आव्यूह $X$ और $Y$ को $X = A^4 + B^4$ और $Y = A^{10} + B^{10}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो आव्यूह $X - Y$ है:

माना $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ और $|A| = 2$ है। यदि $|2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(2 A))| = 32^n$ है,तो $3n + \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $R = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ एक शून्येतर $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \neq 0$,$\theta \in (0, 2 \pi)$ है। एक वर्ग आव्यूह $M$ के लिए,$\text{trace}(M)$ आव्यूह $M$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तब,कथनों में से:
$(I) \text{ Trace}(R) = 0$
$(II) \text{ यदि trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0, \text{ तो } R \text{ में केवल एक शून्येतर अवयव है।}$

यदि $a_{r}=(\cos 2 r \pi+i \sin 2 r \pi)^{1 / 9}$ है, तो $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow A^2-2 A=$

यदि $A$ कोटि $3$ का एक वर्ग आव्यूह है और $|A| = 2$ है,तो $|(A - A^T)^5| + |(A^T - A)^3|$ का मान ज्ञात कीजिए।