यदि x = sec theta - cos theta और y = sec^n th | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x = \sec 	heta - \cos 	heta$ और $y = \sec^n 	heta - \cos^n 	heta$। मान लीजिए $u = \sec 	heta$ और $v = \cos 	heta = \frac{1}{u}$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{n^2(y^2 + 4)}}{{x^2 + 4}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $x = \sec 	heta - \cos 	heta$ और $y = \sec^n 	heta - \cos^n 	heta$। मान लीजिए $u = \sec 	heta$ और $v = \cos 	heta = \frac{1}{u}$। तब $x = u - \frac{1}{u}$ और $y = u^n - \frac{1}{u^n}$। हम जानते हैं कि $x^2 = (u - \frac{1}{u})^2 = u^2 + \frac{1}{u^2} - 2$,इसलिए $x^2 + 4 = u^2 + \frac{1}{u^2} + 2 = (u + \frac{1}{u})^2$। अतः,$u + \frac{1}{u} = \sqrt{x^2 + 4}$। इसी प्रकार,$y^2 + 4 = (u^n - \frac{1}{u^n})^2 + 4 = u^{2n} + \frac{1}{u^{2n}} - 2 + 4 = u^{2n} + \frac{1}{u^{2n}} + 2 = (u^n + \frac{1}{u^n})^2$। अतः,$u^n + \frac{1}{u^n} = \sqrt{y^2 + 4}$। अब,$	heta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर: $\frac{dx}{d	heta} = \sec 	heta 	an 	heta + \sin 	heta = 	an 	heta (\sec 	heta + \cos 	heta)$। $\frac{dy}{d	heta} = n \sec^{n-1} 	heta (\sec 	heta 	an 	heta) + n \cos^{n-1} 	heta \sin 	heta = n 	an 	heta (\sec^n 	heta + \cos^n 	heta)$। तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d	heta}{dx/d	heta} = \frac{n(\sec^n 	heta + \cos^n 	heta)}{\sec 	heta + \cos 	heta} = \frac{n \sqrt{y^2 + 4}}{\sqrt{x^2 + 4}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} ight)^2} = \frac{{n^2(y^2 + 4)}}{{x^2 + 4}}$ प्राप्त होता है।

यदि $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$ है,तो ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2}$ का मान क्या होगा?

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