यदि f(n) = tan^{-1} left( frac{e-1}{e^{-n} + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(n) = 	an^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} ight)$.अंश और हर को $e^n$ से गुणा करने पर:$f(n) = 	an^{-1} \left( \frac{e^n(e

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$	an^{-1}(\frac{1}{e})$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(n) = 	an^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} ight)$.अंश और हर को $e^n$ से गुणा करने पर:$f(n) = 	an^{-1} \left( \frac{e^n(e-1)}{1 + e^{2n+1}} ight) = 	an^{-1} \left( \frac{e^{n+1} - e^n}{1 + e^{n+1} \cdot e^n} ight)$.सर्वसमिका $	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(y) = 	an^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} ight)$ का उपयोग करने पर:$f(n) = 	an^{-1}(e^{n+1}) - 	an^{-1}(e^n)$.अब,यह योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_N = \sum_{n=1}^N f(n) = (	an^{-1}(e^2) - 	an^{-1}(e)) + (	an^{-1}(e^3) - 	an^{-1}(e^2)) + \dots + (	an^{-1}(e^{N+1}) - 	an^{-1}(e^N))$.$S_N = 	an^{-1}(e^{N+1}) - 	an^{-1}(e)$.जैसे $N 	o \infty$,$e^{N+1} 	o \infty$,इसलिए $	an^{-1}(e^{N+1}) 	o \frac{\pi}{2}$.अतः,$\sum_{n=1}^\infty f(n) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(e) = \cot^{-1}(e) = 	an^{-1}(\frac{1}{e})$.

यदि $f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} \right)$ सभी $n \in N$ के लिए है,तो $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{5 \pi}{4}\right) = \alpha$ और $\tan ^{-1}\left(-\tan \frac{2 \pi}{3}\right) = \beta$ है। तो:

$\sin ^{-1} \frac{4}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ का वह मान जिसके लिए $\sin(\cot^{-1} (1 + x)) = \cos(\tan^{-1} x)$ है,वह है

यदि $\cos^{-1} p + \cos^{-1} q + \cos^{-1} r = \pi$ है,तो $p^2 + q^2 + r^2 + 2pqr = $

यदि $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$ है, तो $x =$

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