यदि एक फलन f(x) जो f(x)=begin{cases} a e^{x}+ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x)$,$x=1$ और $x=3$ पर सतत है।
$x=1$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \Righ

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$\frac{e}{e^{2}-3 e+13}$

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(D) दिया गया है कि $f(x)$,$x=1$ और $x=3$ पर सतत है।
$x=1$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x ightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}} f(x) \Rightarrow a e + b e^{-1} = c(1)^2 \Rightarrow a e + b/e = c \Rightarrow b = c e - a e^2 \quad (1)$.
$x=3$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x ightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{+}} f(x) \Rightarrow c(3)^2 = a(3)^2 + 2c(3) \Rightarrow 9c = 9a + 6c \Rightarrow 3c = 9a \Rightarrow c = 3a \quad (2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $b = (3a)e - a e^2 = a(3e - e^2) \quad (3)$.
अब,$f^{\prime}(x) = \begin{cases} a e^x - b e^{-x}, & -1 < x < 1 \ 2cx, & 1 < x < 3 \ 2ax + 2c, & 3 < x < 4 \end{cases}$.
दिया गया है कि $f^{\prime}(0) + f^{\prime}(2) = e$.
$f^{\prime}(0) = a e^0 - b e^0 = a - b$.
$f^{\prime}(2) = 2c(2) = 4c$.
अतः,$a - b + 4c = e$.
$b = 3ae - ae^2$ और $c = 3a$ को समीकरण में रखने पर:
$a - (3ae - ae^2) + 4(3a) = e$.
$a - 3ae + ae^2 + 12a = e$.
$a(e^2 - 3e + 13) = e$.
इसलिए,$a = \frac{e}{e^2 - 3e + 13}$.

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$A$. $x\|x\|$	$I$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और सतत
$B$. $\sqrt{\|x\|}$	$II$. $(-1,1)$ में सतत लेकिन अवकलनीय नहीं
$C$. $x+[x]$	$III$. $(-1,1)$ में अवकलनीय
$D$. $\|x-1\|+\|x+1\|+\|x\|$	$IV$. $(-1,0) \cup (0,1)$ में अवकलनीय
	$V$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और अवकलनीय नहीं

List-$I$	List-$II$
$A$. यदि $y = \|x\| + \|x - 2\|$ है, तो $x = 2$ पर, $\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. यदि $f(x) = \|\cos 2x\|$ है, तो $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. यदि $f(x) = \sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. यदि $f(x) = \log\|x - 1\|$, $x \neq 1$ है, तो $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. अस्तित्व में नहीं है

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