यदि एक फलन f को f(x) = begin{cases} frac{1-sq | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} f(x)$ होना चाहिए।यहाँ $f(\frac{\pi}{4

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$\frac{1}{4}$

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(A) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,इसलिए $f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} f(x)$ होना चाहिए।यहाँ $f(\frac{\pi}{4}) = k$ है,इसलिए हम सीमा (limit) का मान ज्ञात करते हैं:$k = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4 x}$.यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है। अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करने पर:$k = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sqrt{2} \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi-4 x)}$$k = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \cos x}{-4}$$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:$k = \frac{-\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4})}{-4} = \frac{-\sqrt{2} 	imes \frac{1}{\sqrt{2}}}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.

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यदि $f(x) = \begin{cases} mx^2 + n, & x < 0 \\ nx + m, & 0 \leq x \leq 1 \\ nx^3 + m, & x > 1 \end{cases}$ है,तो किन पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए $\lim_{x \to 0} f(x)$ और $\lim_{x \to 1} f(x)$ का अस्तित्व है?

यदि $f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{जब } x \le 0 \\ 5x - 4, & \text{जब } 0 < x \le 1 \\ 4x^2 - 3x, & \text{जब } 1 < x < 2 \\ 3x + 4, & \text{जब } x \ge 2 \end{cases}$,तो:

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x)$ जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर सतत है,तो $k = . . . . . .$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{81^{x}-9^{x}}{k^{x}-1} & x \neq 0 \\ 2 & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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