मान लीजिए f(x) = frac{1-tan x}{4x-pi},जहाँ x | vedclass

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Question

(A) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होगा।अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}}

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$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) चूंकि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,इसलिए यह $x = \frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होगा।अतः,$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} \frac{1-	an x}{4x-\pi}$.यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप है,इसलिए हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$'Hospital नियम का उपयोग करेंगे:$f(\frac{\pi}{4}) = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-	an x)}{\frac{d}{dx}(4x-\pi)} = \lim_{x 	o \frac{\pi}{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.अब $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{-\sec^2(\frac{\pi}{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

मान लीजिए $f(x) = \frac{1-\tan x}{4x-\pi}$,जहाँ $x \neq \frac{\pi}{4}$ और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है। यदि $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में सतत है,तो $f(\frac{\pi}{4})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + 2x - 15}, & x \neq -5 \\ a, & x = -5 \end{cases}$ बिंदु $x = -5$ पर सतत है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|\cos x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

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