सिद्ध कीजिए कि $f(x)=|\cos x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x)=|\cos x|$ है।
यह फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और इसे दो फलनों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $f=g \circ h$,जहाँ $g(x)=|x|$ और $h(x)=\cos x$ है।
$[\because (g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\cos x) = |\cos x| = f(x)]$
सबसे पहले,हम सिद्ध करेंगे कि $g(x)=|x|$ और $h(x)=\cos x$ संतत फलन हैं।
$g(x)=|x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
स्पष्ट है कि $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$,तो $g(c)=-c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c = g(c)$। अतः,$g$ फलन $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$,तो $g(c)=c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} x = c = g(c)$। अतः,$g$ फलन $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c=0$,तो $g(0)=0$ है। $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। चूँकि $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$,इसलिए $g$ फलन $x=0$ पर संतत है।
अतः,$g(x)=|x|$ सर्वत्र संतत है।
अब,$h(x)=\cos x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x=c+h$ रखें। जैसे ही $x \to c$,$h \to 0$ होगा।
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) = \lim_{h \to 0} (\cos c \cos h - \sin c \sin h) = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c = h(c)$।
अतः,$h(x)=\cos x$ सर्वत्र संतत है।
चूँकि दो संतत फलनों का संयोजन संतत होता है,इसलिए $f(x) = (g \circ h)(x) = |\cos x|$ एक संतत फलन है।