यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है:

यदि एक फलन $f(x)$ जो $f(x)=\begin{cases} a e^{x}+b e^{-x}, & -1 \leq x<1 \\ c x^{2}, & 1 \leq x \leq 3 \\ a x^{2}+2 c x, & 3 < x \leq 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,कुछ $a, b, c \in R$ के लिए सतत है और $f'(0)+f'(2)=e$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f$ को $f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ 2-x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $x=1$ पर,$f(x)$ है

मान लीजिए $f(x)=x^2+a x+b$,जहाँ $a, b \in R$ है। यदि $f(x)=0$ के सभी मूल काल्पनिक हैं,तो $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ के मूल क्या होंगे?

मान लीजिए $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ और $f_4: R \rightarrow R$ निम्नलिखित रूप से परिभाषित फलन हैं:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\tan^{-1} x$ का मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में है।
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,जहाँ,$t \in R$ के लिए,$[t]$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जो $t$ से कम या उसके बराबर है।
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0 & \text{यदि } x=0 \end{cases}$

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. फलन $f_1$ है	$1$. $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$Q$. फलन $f_2$ है	$2$. $x=0$ पर सतत है और $x=0$ पर अवकलनीय $NOT$ है
$R$. फलन $f_3$ है	$3$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत $NOT$ है
$S$. फलन $f_4$ है	$4$. $x=0$ पर अवकलनीय है और इसका अवकलज $x=0$ पर सतत है

सही विकल्प है:

वक्र $y \cot x = y^3 \tan x$ के लिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ भुज (abscissa) $\frac{\pi}{4}$ है: