यदि एक समतल मूल बिंदु से 6 इकाई की दूरी पर है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी $d = 6$ इकाई है। अभिलंब सदिश $\vec{N} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है। सबसे पहले, अभिलंब सदिश का

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$2 x + 6 y - 3 z - 42 = 0$

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(A) दिया गया है कि मूल बिंदु से समतल की दूरी $d = 6$ इकाई है। अभिलंब सदिश $\vec{N} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है। सबसे पहले, अभिलंब सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{N}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$। इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{N}}{|\vec{N}|} = \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7}$ है। समतल का अभिलंब रूप में समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है। मान रखने पर, हमें $\vec{r} \cdot \left( \frac{2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}}{7} \right) = 6$ प्राप्त होता है। $7$ से गुणा करने पर, हमें $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ प्राप्त होता है। $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ रखने पर, हमें $(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}) = 42$ प्राप्त होता है। यह $2x + 6y - 3z = 42$ या $2x + 6y - 3z - 42 = 0$ में सरल हो जाता है।

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