यदि शब्द $ACADEMICIAN$ के सभी अक्षरों को सभी संभावित तरीकों से क्रमबद्ध किया जाए,तो ऐसे कितने क्रमचय होंगे जिनमें कोई भी दो $A$ साथ न हों और सभी व्यंजन साथ हों?

${}^6P_4 + 4 \cdot {}^6P_3$ का मान $.......$ है।

एक आदमी के $7$ रिश्तेदार हैं: $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष। उसकी पत्नी के भी $7$ रिश्तेदार हैं: $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष। वे $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों की डिनर पार्टी के लिए कितने तरीकों से आमंत्रित कर सकते हैं,ताकि $3$ आदमी के रिश्तेदार और $3$ पत्नी के रिश्तेदार हों?

$xyz = 24$ के धनात्मक पूर्णांक हलों $(x, y, z)$ की कुल संख्या क्या है?

$1, 2, 3, 5$ और $7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सात-अंकीय संख्याओं की संख्या, जिसमें प्रत्येक अंक का कम से कम एक बार उपयोग किया गया हो, क्या है?

$3$-$digit$ की ऐसी कितनी विषम संख्याएँ हैं,जिनके अंकों का योग $7$ का गुणज है?