$ACADEMICIAN$ શબ્દના તમામ અક્ષરોને શક્ય તમામ રીતે ગોઠવવામાં આવે,તો એવી કેટલી ગોઠવણીઓ મળે જેમાં કોઈ પણ બે $A$ સાથે ન હોય અને બધા જ વ્યંજનો સાથે હોય?

$3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓના જૂથમાં,બે છોકરાઓ $B_1$ અને $B_2$ છે. આ છોકરીઓ અને છોકરાઓ એક હરોળમાં એવી રીતે ઊભા રહી શકે કે જેથી બધી છોકરીઓ સાથે હોય,બધા છોકરાઓ સાથે હોય,પરંતુ $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાની બાજુમાં ન હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકારો છે?

ધારો કે $0 \leq r \leq n$. જો ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ હોય,તો $2n + 5r$ ની કિંમત શોધો:

$1$ અને $10^{10}$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં અંક $1$ આવતો હોય,તેની સંખ્યા શોધો:

$52$ પત્તાના બે પેકને એકસાથે ભેળવવામાં આવે છે. એક માણસને $26$ પત્તા એવી રીતે વહેંચી શકાય કે જેથી તેને એક જ સૂટ અને એક જ મૂલ્યના બે પત્તા ન મળે,તેની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક બોક્સમાં $5$ વાદળી, $6$ પીળા અને $4$ લાલ દડા છે. દરેક રંગના ઓછામાં ઓછા બે દડા હોય તે રીતે $8$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?