જો $x, y \in \mathbb{R}, x > 0$ માટે,$y = \log_{10} x + \log_{10} x^{1/3} + \log_{10} x^{1/9} + \dots$ $\infty$ પદો સુધી હોય અને $\frac{2+4+6+\dots+2y}{3+6+9+\dots+3y} = \frac{4}{\log_{10} x}$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ શું થાય?

શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ ધ્યાનમાં લો જ્યાં $a_{1}=1, a_{2}=2$ અને $n=1, 2, 3, \ldots$ માટે $a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}}+a_{n}$ છે. જો $\left(\frac{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}{a_{3}}\right) \cdot\left(\frac{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}{a_{4}}\right) \cdot\left(\frac{a_{3}+\frac{1}{a_{4}}}{a_{5}}\right) \cdots\left(\frac{a_{30}+\frac{1}{a_{31}}}{a_{32}}\right)=2^{\alpha}\left({}^{61}C_{31}\right)$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I(n) = n^n$ અને $J(n) = 1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times (2n - 1)$ તમામ $n > 1, n \in N$ માટે, તો:

ધારો કે $n \geq 4$ એક ધન પૂર્ણાંક છે અને $l_1, l_2, \ldots, l_n$ એ $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણ $P$ ની બાજુઓની લંબાઈ છે. ધારો કે $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_{n-1}}{l_n} + \frac{l_n}{l_1} = n$. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $P$ ની બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
$II$. $P$ ના ખૂણાઓ સમાન છે.
$III$. જો $P$ ચક્રીય હોય તો તે નિયમિત બહુકોણ છે.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ $2$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં ધન પૂર્ણાંકોની શ્રેણી છે. વળી,ધારો કે $b_1, b_2, b_3, \ldots$ એ $2$ ના સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે ગુણોત્તર શ્રેણીમાં ધન પૂર્ણાંકોની શ્રેણી છે. જો $a_1 = b_1 = c$ હોય,તો $c$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા,જેના માટે સમાનતા $2(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સાચી હોય,તે કેટલી છે?

સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ જેના માટે $\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n} < \frac{1}{12}$ થાય તે